Question

若奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）=0，则

f(x)-f(-x)

x

＜0的解为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：本题先由f（x）是奇函数，得到f（-x）=-f（x），函数f（x）的图象关于原点对称，再由f（2）=0，函数f（x）的图象过点（2，0），（-2，0），由函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，得到f（x）函数值正负的分布，最后解不等式则

f(x)-f(-x)

x

＜0，得到本题结论．

解答： 解：∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），函数f（x）的图象关于原点对称．
∵函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）=0，
∴函数f（x）的图象过点（2，0），（-2，0）．
当0＜x＜2时，f（x）＜0，
当x＞2时，f（x）＞0，
当-2＜x＜0时，f（x）＞0，
当x＜-2时，f（x）＜0．
当x=-2或x=0或x=2时，f（x）=0．
∵

f(x)-f(-x)

x

＜0，
∴

2f(x)

x

＜0．
∴

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，
∴-2＜x＜0或0＜x＜2．
故答案为：（-2，0）∪（0，2）．

点评：本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．