Question

设函数f（x）=

1(0≤x≤2) x-1(2＜x≤4)

，g（x）=f（x）-ax，x∈[0，4]，其中a∈（0，1），记函数g（x）的最大值与最小值的差为h（a），则h（a）的最小值是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：先化简g（x）的解析式，当0≤a≤1时，求出最大值与最小值的差为h（a），对a讨论，求出h（a）的解析式，运用一次函数的单调性，即可求出y=h（a）的最小值．

解答： 解：由a∈（0，1），
若0≤x≤2，
则g（x）=f（x）-ax=1-ax在[0，2]上单调递减，
则g（0）取得最大，且为1，g（2）取得最小值，且为1-2a；
若2＜x≤4，
则g（x）=f（x）-ax=x-1-ax=（1-a）x-1在（2，4]上单调递增，
故g_max（x）=g（4）=3-4a．
又∵g（2）=1-2a，g（4）=3-4a；
g（4）-g（2）=2-2a，g（4）-g（0）=2-4a，
故当0＜a＜1时，g（4）＞g（2）．
g_max（x）=g（4）=3-4a，
故当0＜a＜

1

2

时，
g_max（x）=g（4）=3-4a，
当

1

2

≤a＜1时，
g_max（x）=g（0）=1；
故h（a）=

2-2a，0＜a＜ 1 2 2a， 1 2 ≤a＜1

，
故函数h（a）的值域为[1，2）．
h（a）的最小值是1．
故答案为：1．

点评：本题考查求函数的最大值、最小值的方法，体现了分类讨论的数学思想，考查运算能力，属于中档题．