Question

已知

a

=（sin（x-

π

4

），cosx），

b

=（cos（x+

π

4

），cosx），函数f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）若a∈（-

π

8

，

π

8

）且f（a）=

3 2

10

，求cos2a的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

4

个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在x∈[0，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由题意先求解析式f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），可得sin2a=

3 2

5

-cos2a，两边平方整理可得：50cos²2a-30

2

cos2a-7=0，从而可解得cos2a的值．
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换得到函数解析式，根据余弦函数的图象和性质即可求值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=sin（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）+cos²x=-

1

2

（sinx-cosx）²+cos²x=

1

2

（sin2x+cos2x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∵f（a）=

2

2

sin（2a+

π

4

）=

3 2

10

，整理可得：sin2a=

3 2

5

-cos2a，
∴两边平方整理可得：50cos²2a-30

2

cos2a-7=0，
∵a∈（-

π

8

，

π

8

）∴2a∈（-

π

4

，

π

4

）
∴可解得：cos2a=

7 2

10

．
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

4

个单位，得到的函数解析式为：y=

2

2

sin[2（x+

π

4

）+

π

4

]=

2

2

cos（2x+

π

4

），
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），得到函数解析式为：y=g（x）=

2

2

cos（4x+

π

4

），
∵x∈[0，

π

4

]
∴4x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴cos（4x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]
∴

2

2

sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，

1

2

]．

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，综合性强，属于中档题．