Question

设中心为坐标原点O的椭圆C的短轴长为2，且一个焦点为F（1，0），
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点P（t，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当t＞

2

时，求△OAB面积S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆C的短轴长为2，且一个焦点为F（1，0），求出b，c，a，尽快求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设l：x=my+t直线代入椭圆方程，利用韦达定理，表示面积，结合基本不等式，即可求△OAB面积S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，b=1，c=1，∴a=

2

，
∴椭圆C的方程

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设l：x=my+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线代入椭圆方程可得（m²+2）y²+2mty+t²-2=0，
∴y₁+y₂=-

2mt

m2+2

，y₁y₂=

t2-2

m2+2

，
∴S_△OAB=

t

2

|y₁-y₂|=

2 t• m2+2-t2

m2+2

≤

2

m2+2

•

t2+m2+2-t2

2

=

2

2

，
当且仅当m²+2-t²=t²时，S取得最大值

2

2

．

点评：本题考查求△OAB面积S的最大值，考查椭圆方程，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．