Question

4．[普通中学做]设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{h}$分别表示向量$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PH}$．已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{h}$，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=5，|$\overrightarrow{BC}$|=6，则|$\overrightarrow{AH}$|=（　　）

• A． $\frac{7}{4}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{15}{4}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 根据向量数量积的公式和条件进行化简得到H是△ABC的垂心，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：由题意知$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PH}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PH}$，
即$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$）+$\overrightarrow{PH}$•（$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PA}$）=0，即$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{HB}$=0．
同理得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{HC}$=0，故H是△ABC的垂心，如图所示，
在Rt△CAD中，tan∠CAD=$\frac{3}{4}$，
∵∠CAD=∠CBE，
∴$\frac{DH}{3}$=$\frac{3}{4}$，即DH=$\frac{9}{4}$，
∴AH=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
故选：A．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据条件判断H是△ABC的垂心是解决本题的关键．综合性较强，考查学生的转化和运算能力．