Question

13．已知函数f（x）=x²e^x-b，其中b∈R．
（Ⅰ）证明：对于任意x₁，x₂∈（-∞，0]，都有f（x₁）-f（x₂）≤$\frac{4}{{e}^{2}}$；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数转化为求解最大值，最小值的差证明．
（Ⅱ）根据最大值为；f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-b，f（x）的最小值为：-b，
分类当b＜0时，当b=0时，当b=$\frac{4}{{e}^{2}}$时，当0＜b＜$\frac{4}{{e}^{2}}$时，当b＞$\frac{4}{{e}^{2}}$时，判断即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域R，且f′（x）=x（x+2）e^x，
令f′（x）=0则x₁=0，或x₂=-2，
f′（x）=x（x+2）e^x，

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增函数	极大值	减函数

∴f（x）在区间（-∞，0]上的最大值为；f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-b，
∵x∈（-∞，0]，∴f（x）=x²e^x-b≥-b，
∴f（x）的最小值为：-b，
∴对于任意x₁，x₂∈（-∞，0]，都有f（x₁）-f（x₂）≤f（x）_最大值-f（x）≤$\frac{4}{{e}^{2}}$；
（Ⅱ）f′（x）=x（x+2）e^x，函数f（x）=x²e^x-b，
当b＜0时，函数f（x）=x²e^x-b＞0恒成立，函数f（x）的零点个数为：0
当b=0时，函数f（x）=x²e^x，函数f（x）的零点个数为：1
当b=$\frac{4}{{e}^{2}}$时，函数f（x）的零点个数为；2，
 当0＜b＜$\frac{4}{{e}^{2}}$时，函数f（x）的零点个数为：3，
当b＞$\frac{4}{{e}^{2}}$时，函数f（x）的零点个数为：1，

点评 本题考查了综合解决函数零点问题，利用导数解决单调性，最值，分类讨论的思想．