Question

12．已知函数f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx（a∈R）．
（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设g（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$，求函数y=g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）将a=1的值代入，求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，代入切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，（x＞0），
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，
f（1）=0，f′（1）=1+1-2=0，
∴切线斜率是0，过（1，0），
故切线是x轴；
（2）g（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$=ax-2lnx，（x＞0），
g′（x）=a-$\frac{2}{x}$=$\frac{ax-2}{x}$，
a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{a}$，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，
∴g（x）在（0，$\frac{2}{a}$）递减，在（$\frac{2}{a}$，+∞）递增．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．