Question

14．设函数f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R），当x=$\frac{4}{3}$时，f（x）取极小值0，则实数b=$\frac{32}{27}$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R），当x=$\frac{4}{3}$时，f（x）取极小值0，得到f′（$\frac{4}{3}$）=$\frac{16}{3}$+$\frac{8}{3}$a=0，f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{64}{27}$+$\frac{16}{9}$a+b，即可求出b．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+b，∴f′（x）=3x²+2ax，
∵函数f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R），当x=$\frac{4}{3}$时，f（x）取极小值0，
∴f′（$\frac{4}{3}$）=$\frac{16}{3}$+$\frac{8}{3}$a=0，f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{64}{27}$+$\frac{16}{9}$a+b，
∴a=-2，b=$\frac{32}{27}$．
故答案为：$\frac{32}{27}$．

点评 本题考查函数在某一点取得极值的条件，是一个基础题，本题解题的关键是函数在这一点取得极值，则函数在这一点点导函数等于0，注意这个条件的应用．