Question

已知函数f（x）=2sin

1

2

x+2

3

cos

1

2

x．
（1）求函数f（x）的最小正周期及值域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和差的正弦公式可得f(x)=4sin(

1

2

x+

π

3

)．即可得到函数f（x）最小正周期T=

2π

ω

=4π，再利用正弦函数的值域即可得出函数f（x）的值域．
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得4kπ-

5π

3

≤x≤4kπ+

π

3

，即可得到函数f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sin

1

2

x+2

3

cos

1

2

x=4(

1

2

sin

1

2

x+

3

2

cos

1

2

x)．
∴f(x)=4sin(

1

2

x+

π

3

)．
∴函数f（x）最小正周期T=

2π

ω

=4π，
∵-1≤sin(

1

2

x+

π

3

)≤1，
∴函数f（x）的值域为[-4，4]
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得4kπ-

5π

3

≤x≤4kπ+

π

3

，
可得函数f（x）的单调递增区间为：[4kπ-

5π

3

，4kπ+

π

3

]，k∈Z．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．