Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA₁上的动点，A₁A=4，AB=AC=2．
（1）当F为A₁A的中点，求直线BC与平面BFC₁所成角的正弦值；
（2）当

AF

FA1

的值为多少时，二面角B-FC₁-C的大小是45°．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面BFC₁所成角的正弦值．
（2）求出平面BFC₁的一个法向量，利用向量法能求出当

AF

FA1

=

5

3

时，二面角B-FC₁-C的大小是45°．

解答： 解：（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
依题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
A₁（0，0，4），C₁（0，2，4），∵F为AA₁r 中点，
∴F(0，0，2)，

BF

=(-2，0，2)，

BC1

=(-2，2，4)，

BC

=(-2，2，0)，
设

n

=(x，y，z)是平面BFC₁的一个法向量，
则

n • BF =-2x+2z=0 n • BC1 =-2x+2y+4z=0

，得x=-y=z
取x=1，得

n

=(1，-1，1)，
设直线BC与平面BFC₁的法向量

n

=(1，-1，1)的夹角为θ，
则cosθ=

BC • n

| BC |•| n |

=

-4

2 2 • 3

=-

6

3

，
∴直线BC与平面BFC₁所成角的正弦值为

6

3

．
（2）设F(0，0，t)(0≤t≤4)，

BF

=(-2，0，t)，

BC1

=(-2，2，4)，
设

n

=(x，y，z)是平面BFC₁的一个法向量，
则

n • BF =-2x+tz=0 n • BC1 =-2x+2y+4z=0

，
取z=2，得

n

=(t，t-4，2)

AB

=(2，0，0)是平面FC₁C的一个法向量，cos＜

n

，

AB

＞=

n • AB

| n |•| AB |

=

2t

2 t2+(t-4)2+4

=

2

2

，
得t=

5

2

，即AF=

5

2

，FA1=

3

2

，
∴当

AF

FA1

=

5

3

时，二面角B-FC₁-C的大小是45°．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角为45°时点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．