Question

4．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f（x）=x是“似周期函数”；
③函数f（x）=2^x是“似周期函数”；
④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命题的序号是①④．（写出所有满足条件的命题序号）

Answer 1

分析 ①由题意知f（x-1）=-f（x），从而可得f（x-2）=-f（x-1）=f（x）；
②由f（x+T）=T•f （x）得x+T=Tx恒成立；从而可判断；
③由f（x+T）=T•f （x）得2^x+T=T2^x恒成立；从而可判断；
④由f（x+T）=T•f （x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT-sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{cosωT=T}\\{sinωT=0}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，
∴f（x-1）=-f（x），
∴f（x-2）=-f（x-1）=f（x），
故它是周期为2的周期函数，
故正确；
②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），
即x+T=Tx恒成立；
故（T-1）x=T恒成立，
上式不可能恒成立；
故错误；
③若函数f（x）=2^x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），
即2^x+T=T2^x恒成立；
故2^T=T成立，无解；
故错误；
④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），
即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；
故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；
即cosωxcosωT-sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}{cosωT=T}\\{sinωT=0}\end{array}\right.$，
故ω=kπ，k∈Z；
故正确；
故答案为：①④．

点评 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题．