Question

已知f（x）=2mcos2x-2

3

msinx•cosx+n(m＞0)的定义域为[0，

π

2

]，值域为[1，4]，求m+n的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据x的范围表示出f（x）的最大和最小值，联立方程求得m和n，最后求得m+n的值．

解答： 解：f（x）=2mcos²x-2

3

msinx•cosx+n
=m（1+cos2x-

3

sin2x）+n
=2m（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x）+m+n，
=-2msin（2x-

π

6

）+m+n，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）_max=-2•m•（-

1

2

）+m+n=4①
f（x）_min=-2m+m+n=1②，
①②联立求得n=4，m=3，
∴m+n=7

点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象和性质．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力和运算的能力．