Question

椭圆

x2

4

+y2=1的弦AB的中点为P(1，

1

2

)，则弦AB所在直线的方程是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可知弦AB的斜率存在，设出A，B的坐标，代入椭圆方程作差后得到弦AB的斜率，然后由直线方程的点斜式求得弦AB所在直线的方程．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵弦AB的中点为P(1，

1

2

)，
∴弦AB的斜率存在．
x₁+x₂=2，y₁+y₂=1．
把A，B的坐标代入椭圆

x2

4

+y2=1，得：

x12

4

+y12=1  ①

x22

4

+y22=1  ②
①-②得：

(x1-x2)(x1+x2)

4

=-(y1-y2)(y1+y2)，
即

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

2

4×1

=-

1

2

．
∴kAB=-

1

2

．
弦AB所在直线的方程是y-

1

2

=-

1

2

(x-1)，
整理得：x+2y-2=0．
故答案为：x+2y-2=0．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了“点差法”，涉及弦中点问题常用此法解决，是中档题．