Question

如果数列{a_n}同时满足：（1）各项均不为0，（2）存在常数k，对任意n∈N^*，a_n+1²a_na_n+2+k都成立，则称这样的数列{a_n}为“类等比数列”．由此等比数列必定是“类等比数列”．问：
（1）各项均不为0的等差数列{b_n}是否为“类等比数列”？说明理由．
（2）若数列{a_n}为“类等比数列”，且a₁=a，a₂=b（a，b为常数），是否存在常数λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．
（3）若数列{a_n}为“类等比数列”，且a₁=a，a₂=b，k=a²+b²（a，b为常数），求数列{a_n}的前n项之和S_n；数列{S_n}的前n项之和记为T_n，求T_4k-3（k∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）因为{b_n}为各项均不为0的等差数列，故可设b_n=dn+b（d、b为常数），利用“类等比数列”的定义，可得k=d²为常数，即可得出结论；
（2）存在常数λ=

a2+b2-k

ab

，使a_n+a_n+2=λa_n+1，再进行证明即可；
（3）{a_2n-1}，{a_2n}均为公比为-1的等比数列，可求S_n、T_n，即可求T_4k-3（k∈N^*）．

解答： 解：（1）因为{b_n}为各项均不为0的等差数列，故可设b_n=dn+b（d、b为常数）               …（1分）
由bn+12=bnbn+2+k得[d（n+1）+b]²=（dn+b）[d（n+2）+b]+k…（2分）
得k=d²为常数，所以各项均不为0的等差数列{b_n}为“类等比数列”…（4分）
（2）存在常数λ=

a2+b2-k

ab

，使a_n+a_n+2=λa_n+1（只给出结论给2分）
（或从必要条件入手a1+a3=λa2⇒λ=

a1+a3

a2

=

a1+ a22-k a1

a2

=

a2+b2-k

ab

）
证明如下：因为

a

2 n+1

=anan+2+k，所以

a

2 n

=an-1an+1+k，n≥2，n∈N*
所以

a

2 n+1

-

a

2 n

=anan+2-an-1an+1，即

a

2 n+1

+an-1an+1=anan+2+

a

2 n

．…（6分）
由于a_n≠0，此等式两边同除以a_na_n+1，
得

an+an+2

an+1

=

an-1+an+1

an

…（8分）
所以

an+an+2

an+1

=

an-1+an+1

an

=…=

a1+a3

a2

，
即当n∈N^*都有an+an+2=

a1+a3

a2

an+1
因为a1=a，a2=b，

a

2 n+1

=anan+2+k，所以a3=

b2-k

a

所以

a1+a3

a2

=

a+ b2-k a

b

=

a2+b2-k

ab

•
所以对任意n∈N^*都有a_n+a_n+2=λa_n+1，此时λ=

a2+b2-k

ab

…（10分）
（3）a22=a1a3+k=a1a3+a12+a22⇒a1(a1+a3)=0⇒a1+a3=0…（11分）

an+an+2

an+1

=

an-1+an+1

an

=…=

a1+a3

a2

=0⇒an+an+2=0，
∴{a_2n-1}，{a_2n}均为公比为-1的等比数列                  …（12分）
∴an=

a(-1) n-1 2 ，n为奇数 b(-1) n 2 -1，n为偶数

…（14分）
Sn=

0，n=4k  a，n=4k-3 a+b， n=4k-2 b，n=4k-1

(k∈N*)…（16分）
T_4k-3=T_4k-S_4k-S_4k-1-S_4k-2=2（a+b）k-0-b-（a+b）=2（a+b）（k-1）+a（18分）

点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，正确运用新定义是关键．