Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，点（1，

3

2

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C的两条切线交于点M（4，t），其中t∈R，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的点（x₀，y₀）处的椭圆切线方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，证明直线AB恒过椭圆的右焦点F₂；
（Ⅲ）试探究

1

|AF2|

+

1

|BF2|

的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

b2

a2

=1-e2=

3

4

，

1

a2

+

9

4b2

=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设切点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线方程分别为

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1．由已知条件推导出点A、B的坐标都适合方程x+

t

3

y=1，由此能证明直线AB恒过椭圆的右焦点F₂．
（Ⅲ）将直线AB的方程x=-

t

3

y+1，代入椭圆方程，得（

t2

3

+4）y²-2ty-9=0，由此利用韦达定理能证明

1

|AF2|

+

1

|BF2|

的值恒为常数

4

3

．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，点（1，

3

2

）在椭圆C上．
∴

b2

a2

=1-e2=

3

4

，①

1

a2

+

9

4b2

=1，②，
由①②得：a2 =4，b2=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）证明：设切点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则切线方程分别为

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1．
又两条切线交于点M（4，t），即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
即点A、B的坐标都适合方程x+

t

3

y=1，
由题意知对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线AB恒过椭圆的右焦点F₂（1，0）．…（7分）
（Ⅲ）解：将直线AB的方程x=-

t

3

y+1，代入椭圆方程，得
3(-

t

3

y+1)2+4y2-12=0，即（

t2

3

+4）y²-2ty-9=0，
∴y1+y2=

6t

t2+12

，y1y2=-

27

t2+12

，…（10分）
不妨设y₁＞0，y₂＜0，|AF₂|=

(x1-1)2+y12

=

( t2 9 +1)y12

=

t2+9

3

y1，
同理|BF₂|=-

t2+9

3

y2，
∴

1

|AF2|

+

1

|BF2|

=

3

t2+9

（

1

y1

-

1

y2

）=

3

t2+9

•

y2-y1

y1y2

=-

3

t2+9

•

(y2-y1)2

y1y2

=

4

3

，
∴

1

|AF2|

+

1

|BF2|

的值恒为常数

4

3

．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过椭圆右焦点的证明，考查两数和恒为常数的探究与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．