题目内容
已知a∈R，函数f（x）=-a（
sin2x+cos2x）+2a+b，当x∈[0，
]时，f（x）的值域是[-5，1]．
（Ⅰ）求常数a，b的值；
（Ⅱ）当a＞0时，设g（x）=f（x+
）（x∈R），求g（x）的单调区间．
| 3 |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求常数a，b的值；
（Ⅱ）当a＞0时，设g（x）=f（x+
| π |
| 2 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）首先，借助于二倍角公式化简函数解析式：f(x)=-2asin(2x+
)+2a+b，然后，根据三角函数的图象和性质对a的取值情形进行分类讨论，求解；
（Ⅱ）根据g（x）=f（x+
），得到g(x)=4sin(2x+
)-1，然后，结合三角函数的单调性进行求解单调区间．
| π |
| 6 |
（Ⅱ）根据g（x）=f（x+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）=-a（
sin2x+cos2x）+2a+b，
∴f(x)=-2asin(2x+
)+2a+b，
∵x∈[0，
]’
∴2x+
∈[
，
]，
∴-2sin(2x+
)∈[-2，1]，
∴当a＞0时，f（x）∈[b，3a+b]，
即
，∴
；
当a＜0时，f（x）∈[3a+b，b]，
即
∴
；
∴a=2，b=-5或a=-2，b=1．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知：f(x)=-4sin(2x+
)-1，
∴g(x)=4sin(2x+
)-1，
由2x+
∈[2kπ-
，2kπ+
]，
得x∈[kπ-
，kπ+
](k∈Z)，
由2x+
∈[2kπ+
，2kπ+
]，
得x∈[kπ+
，kπ+
](k∈Z)，
∴g（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
](k∈Z)，
g（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
](k∈Z)．
（其他写法参照给分）
| 3 |
∴f(x)=-2asin(2x+
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴-2sin(2x+
| π |
| 6 |
∴当a＞0时，f（x）∈[b，3a+b]，
即
|
|
当a＜0时，f（x）∈[3a+b，b]，
即
|
|
∴a=2，b=-5或a=-2，b=1．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知：f(x)=-4sin(2x+
| π |
| 6 |
∴g(x)=4sin(2x+
| π |
| 6 |
由2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
得x∈[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
由2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
得x∈[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴g（x）的单调递增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
g（x）的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（其他写法参照给分）
点评：本题综合考查了二倍角公式、三角函数的图象与性质、诱导公式等知识，考查比较综合，属于中档题．
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