Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；
（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD．
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，
则∠PBE是AC与PB所成的角．
连接AE，可知AC=CB=BE=AE=

2

，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=a²=3b²，PB=

5

，
∴cos∠PBE=

10

5

．
∴AC与PB所成的角为arccos

10

5

．
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN•MC=

CM2-( AC 2 )2•AC

，
∴AN=

6

5

．
∴AB=2，
∴cos∠ANB=

AN2+BN2-AB3

2AN×BN

=-

2

3

故面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值为-

2

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．