Question

9．已知圆F₁：（x+1）²+y²=16，圆心为F₁，定点F₂（1，0），P为圆F₁上一点，线段PF₂的上一点N满足$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{N{F}_{2}}$，直线PF₁上一点Q，满足$\overrightarrow{QN}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）过点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点A和B，且满足∠AOB＜90°（O为坐标原点），求弦AB的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据圆M的标准方程得到点M坐标（-1，0），圆的半径R=4，再由线段中垂线定理，可得出点Q的轨迹C是椭圆，从而可得出点G的轨迹C对应的椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+2，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线AB的斜率k的取值范围．

解答 解：（1）∵圆F₁：（x+1）²+y²=16，圆心为F₁，∴F₁（-1，0），
∵P为圆F₁上一点，线段PF₂的上一点N满足$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{N{F}_{2}}$，直线PF₁上一点Q，满足$\overrightarrow{QN}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0
∴QN是PF₂的垂直平分线，根据题设有|QP|=|QF₂|，|F₁P|=4，
∴|QF₁|+|QF₂|=|QF₁|+|QP|=|F₁P|=4，
∵|F₁F₂|=2＜4，
∴根据椭圆的定义可知，Q的轨迹为以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点中心在原点半长轴为2，
半焦距为1，半短轴为$\sqrt{3}$的椭圆，
∴点Q的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
设直线l与曲线C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则△=256k²-16（3+4k²）＞0，解得k²＞$\frac{1}{4}$，即k＞$\frac{1}{2}$或k＜-$\frac{1}{2}$，
${x}_{1}{+x}_{2}=-\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∵∠AOB＜90°，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）•$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$+2k•（-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$）+4＞0，
解得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴直线AB的斜率k的取值范围是（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题借助一个动点的轨迹，得到椭圆的第一定义，进而求出其轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线的斜率的取值范围的计算，属于中档题．