Question

1．设a，b∈R，且a≠1，若奇函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+x}$在区间（-b，b）上有定义．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范围．
（3）求解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）直接由奇函数的定义列式求得a值；
（2）把（1）中求得的a值代入函数解析式，由真数大于0求得函数的定义域，则b的取值范围可求；
（3）化对数不等式为分式不等式求解．

解答 解：（1）∵f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+x}$是定义域内的奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，即$lg\frac{1-ax}{1-x}+lg\frac{1+ax}{1+x}=lg\frac{1-{a}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}=0$，
∴$\frac{1-{a}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}=1$恒成立，即（a²-1）x²=0恒成立，
∵a≠1，∴a=-1；
（2）$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$，由$\frac{1-x}{1+x}＞0$，解得-1＜x＜1，
由奇函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+x}$在区间（-b，b）上有定义，得0＜b≤1；
（3）由f（x）＞0，得$lg\frac{1-x}{1+x}＞0$，∴$\frac{1-x}{1+x}＞1$，
∴$\frac{1-x}{1+x}-1＞0$，即$\frac{2x}{x+1}＜0$，解得-1＜x＜0．
∴不等式f（x）＞0的解集为（-1，0）．

点评 本题考查函数与方程的综合运用，考查了函数奇偶性的性质，训练了对数不等式与分式不等式的解法，是中档题．