题目内容
17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）．已知点（2，2e）（e为椭圆E的离心率）在椭圆上，点A1、B1分别为椭圆的右顶点和上顶点，从椭圆上一点M向x轴作垂线，垂足为焦点F1，且MF2∥A1B1．（1）求椭圆E的方程；
（2）设P为椭圆上第一象限内的点，如图2，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴交于点C，$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DQ}$，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA、PB是否互相垂直，并证明你的结论．
分析 （1）由已知根据椭圆性质列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（2）求出直线AD的方程，代入椭圆的方程，并整理，求出B的坐标，证明kPA•kPB≠-1，即可得到直线PA、PB不垂直．
解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）．
（2，2e）（e为椭圆E的离心率）在椭圆上，点A1、B1分别为椭圆的右顶点和上顶点，
从椭圆上一点M向x轴作垂线，垂足为焦点F1，且MF2∥A1B1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{4{e}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{b}=\frac{2c}{a}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）PA与PB不垂直．
证明：设P（x0，y0），则A（-x0，-y0），D（x0，-$\frac{{y}_{0}}{3}$），且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{5}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
将直线AD的方程y=$\frac{{y}_{0}}{3{x}_{0}}$（x+x0）-y0代入椭圆的方程，
并整理得（36x02+5${{y}_{0}}^{2}$）x2-20x0y02x+20x02y02-180x02=0，
由题意，可知此方程必有一根-x0，
xB=$\frac{20{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{36{{x}_{0}}^{2}+5{{y}_{0}}^{2}}$+x0，yB=$\frac{{y}_{0}}{3{x}_{0}}$（$\frac{20{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{36{{x}_{0}}^{2}+5{{y}_{0}}^{2}}$+2x0）-y0=$\frac{5{{y}_{0}}^{3}-12{{x}_{0}}^{2}{y}_{0}}{36{{x}_{0}}^{2}+5{{y}_{0}}^{2}}$，
∴kPB=$\frac{\frac{5{{y}_{0}}^{3}-12{{x}_{0}}^{2}{y}_{0}}{36{{x}_{0}}^{2}+5{{y}_{0}}^{2}}-{y}_{0}}{\frac{20{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{36{{x}_{0}}^{2}+5{{y}_{0}}^{2}}}$=-$\frac{12}{5}•\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
故有kPA•kPB=-$\frac{12}{5}$，即PA与PB不垂直．
点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
开心练习课课练与单元检测系列答案| A． | $\frac{\sqrt{3}π^2}{4}$-1 | B． | $\frac{3π^2}{4}$-1 | C． | $\frac{3π^2}{16}$-1 | D． | $\frac{π^2}{2}$-1 |