Question

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=2C，2bcosC-2ccosB=a，则角A的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosC=3cosBsinC，又利用二倍角的正弦函数公式，可得2sinCcos²C=3cosBsinC，结合sinC＞0，化简解得：cos2C=$\frac{1}{2}$，结合C的范围可求C，进而可求B，利用三角形内角和定理即可求A的值．

解答 解：∵2bcosC-2ccosB=a，
∴2sinBcosC-2sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC=3cosBsinC，
又∵B=2C，可得：sinB=2sinCcosC，
∴2sinCcos²C=3cosBsinC，
∴由sinC＞0，可得：2cos²C=3cosB，
∴1+cos2C=3cos2C，解得：cos2C=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，$\frac{π}{2}$），2C∈（0，π），
∴2C=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{6}$，B=2C=$\frac{π}{3}$，A=π-（B+C）=$\frac{π}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，二倍角的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．