Question

9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=2C，2bcosC-2ccosB=a，则tanC=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $±\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 使用正弦定理将边化角，化简得出tanB和tanC的关系，进而利用二倍角的正切函数公式即可解得tanC的值．

解答 解：∵2bcosC-2ccosB=a，
∴2sinBcosC-2sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC=3cosBsinC，
∴tanB=3tanC．
∵B=2C，C为锐角，
∴tanB=tan2C=$\frac{2tanC}{1-ta{n}^{2}C}$，
∴3tanC=$\frac{2tanC}{1-ta{n}^{2}C}$，解得：tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题，