Question

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且sinA，sinB，sinC成等比数列．
（Ⅰ）若a+c=$\sqrt{3}$，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，利用正弦定理和余弦定理，列出方程组求出a、b和c的值；
（Ⅱ）根据余弦定理，利用基本不等式，即可求出角B的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵sinA，sinB，sinC成等比数列，
∴sin²B=sinA•sinC，
即b²=ac；
又B=60°，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$；----------（4分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}=ac}\\{a+c=\sqrt{3}}\\{\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；-------（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得
cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-ac}{2ac}$，---------------（8分）
∵a²+c²≥2ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，---------（10分）
∴角B的取值范围是0°＜B≤60°．-------------------（12分）

点评 本题考查了正弦和余弦定理的应用问题，也考查了等比数列的性质与应用问题，考查了解方程组的应用问题，是综合性题目．