Question

14．已知tanα=$\frac{1}{7}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），求α+2β

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得tanβ的值，利用二倍角的正切公式，求得tan2β，再利用两角和差的三角公式，求得 tan（α+2β）的值，再结合α+2β的范围，求得 α+2β 的值．

解答 解：∵tanα=$\frac{1}{7}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$＜$\frac{1}{2}$，α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α∈（0，$\frac{π}{6}$），β∈（0，$\frac{π}{6}$），
∴cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan2β=$\frac{2tanβ}{{1-tan}^{2}β}$=$\frac{3}{4}$＜1，2β∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴α+2β∈（0，$\frac{5π}{12}$）．
再根据 tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanαtan2β}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}•\frac{3}{4}}$=1，
∴$α+2β=\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．