Question

19．已知F₂为椭圆mx²+y²=4m（0＜m＜1）的右焦点，点A（0，2），点P为椭圆上任意一点，且|PA|-|PF₂|的最小值为$-\frac{4}{3}$，则m=$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），F₂（c，0），由椭圆的定义和三点共线取得最小值，可得$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a=-$\frac{4}{3}$，椭圆mx²+y²=4m可化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4m}=1$，∴a=2，c=$\sqrt{4-4m}$，进而得到关于m的方程，解方程可得m的值．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），
由椭圆的定义可得2a=|PF₁|+|PF₂|，
即|PF₂|=2a-|PF₁|，
则|PA|-|PF₂|=|PA|-（2a-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-2a，
≥|AF₁|-2a=$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a，
当A，P，F₁共线时，|PA|+|PF₁|取得最小值$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a，
∵|PA|-|PF₂|的最小值为$-\frac{4}{3}$，∴$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a=-$\frac{4}{3}$，
椭圆mx²+y²=4m可化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4m}=1$，∴a=2，c=$\sqrt{4-4m}$，
∴$\sqrt{8-4m}$=$\frac{8}{3}$，
∴m=$\frac{2}{9}$．
故答案为：$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查椭圆方程与性质，注意运用椭圆的定义和三点共线取得最小值是关键．