Question

如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若

OC

=m

OA

+n

OB

，若m+n=2，则∠AOB的最小值（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  π

  2

• D、

  2π

  3

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：设圆O的半径为1，对

OC

=m

OA

+n

OB

两边平方可得1=m²+2mncos∠AOB+n²，根据已知条件可知m，n∈（0，2），所以将m=2-n带入上式并求出cos∠AOB=1+

3

2n2-4n

．容易得到n=1时cos∠AOB=-

1

2

，∠AOB取最小值

2π

3

．

解答： 解：由已知条件知，m，n∈（0，2），设圆O的半径为1；

OC

2=(m

OA

+n

OB

)2；
∴1=m²+2mncos∠AOB+n²；
将m=2-n带入并整理得-2n²+4n-3=（-2n²+4n）cos∠AOB；
∴cos∠AOB=1+

3

2n2-4n

；
∵n∈（0，2）时，2n²-4n＜0；
且n=1时，2n²-4n取最小值-2，1+

3

2n2-4n

取最大值-

1

2

；
此时，∠AOB=

2π

3

，即为最小值．

点评：考查向量数量积的运算，以及二次函数的最值，余弦函数的单调性及最值．