Question

下列命题中正确的有

 

  （填写正确的序号）
（1）已知f（n）=sin

nπ

6

，则f（1）+f（2）+…+f（2014）=1；
（2）已知向量

OA

=（0，1），

OB

=（k，k），

OC

=（1，3），且

AB

∥

AC

，则实数k=-1；
（3）四位二进制数能表示的最大十进制数是15；
（4）函数y=cos（2x+

π

3

）的图象的一个对称中心是（

π

12

，0）
（5）若对任意实数a，函数y=5sin（

2k+1

3

πx-

π

6

）（k∈N）在区间[a，a+3]上的值

5

4

出现不少于4次且不多于8次，则k的值是2．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用,算法和程序框图,简易逻辑

分析：根据正弦型函数的周期性，利用分组求和法，可判断（1）；根据向量平行的充要条件，可判断（2）；根据二进制与十进制之间的转化关系，可判断（3）；根据余弦型函数的对称性，可判断（4）；根据正弦型函数的周期性，构造关于k的不等式组，解出k值，可判断（5）．

解答： 解：对于（1）∵f（n）=sin

nπ

6

是周期为12的周期函数，
在同一周期内，f（1）+f（2）+…+f（12）=0，
2014=167×12+10，
故f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）+f（2）+…+f（10）=

1

2

，
故（1）错误；
对于（2），∵向量

OA

=（0，1），

OB

=（k，k），

OC

=（1，3），
∴

AB

=（k，k-1），

AC

=（1，2），
又∵

AB

∥

AC

，
∴2k-（k-1）=0，解得k=-1；
故（2）正确；
对于（3），四位二进制数能表示的最大数为1111_（2）=15_（10），故（3）正确；
对于（4），当x=

π

12

时，y=cos（2x+

π

3

）=cos

π

2

=0，故（

π

12

，0）点是函数y=cos（2x+

π

3

）的图象的一个对称中心，故（4）正确；
对于（5），由于函数在一个周期内有且只有2个不同的自变量使其函数值为3，
因此该函数在区间[a，a+3]（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期，

3≥2T 3≤4T

，
因此，

3

4

≤T≤

3

2

，即

3

4

≤

2π

2k+1 3 π

≤

3

2

，求得

13

6

≤k≤

29

6

，可得k=3，或 k=4，故（5）错误；
故正确的命题有：（2）（3）（4），
故答案为：（2）（3）（4）

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的图象和性质，进制转化，向量平行的充要条件，难度中档．