Question

已知空间中三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设

AB

=

a

，

AC

=

b

．
（1）若|

c

|=3，且

c

∥

BC

，求

c

；
（2）求

a

与

b

的夹角的余弦值；
（3）若k

a

+

b

与k

a

-2

b

互相垂直，求实数k的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,空间向量及应用

分析：（1）设出向量c的坐标，由模的公式和向量共线的坐标表示，列出方程，解得即可得到；
（2）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出；
（3）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．

解答： 解：（1）设

c

=（x，y，z），
则|

c

|=3，即有x²+y²+z²=9，
且

c

∥

BC

，则

c

=λ

BC

=λ（-2，-1，2），
即有x=-2λ，y=-λ，z=2λ，
则4λ²+λ²+4λ²=9，解得，λ=±1，
则有

c

=（-2，-1，2），或

c

=（2，1，-2）；
（2）由于

AB

=（1，1，0），

AC

=（-1，0，2），
则

a

•

b

=-1+0+0=-1，|

a

|=

2

，|

b

|=

5

．
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

-1

2 × 5

=-

10

10

；
（3）若k

a

+

b

与k

a

-2

b

互相垂直，
则（k

a

+

b

）•（k

a

-2

b

）=0，
即有k²

a

2-2

b

2-k

a

•

b

=0，
即为2k²+k-10=0，
解得，k=2或-

5

2

．

点评：本题考查空间向量的数量积及性质，考查向量共线的条件和向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．