Question

已知函数f（x）=

1

(x+1)2

．若f（x）+f（

1

x

）≥m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由已知得到f（x）+f（

1

x

）=

1

1+ 2x x2+1

，然后对x分类后求得其最小值，即可得到满足f（x）+f（

1

x

）≥m恒成立的m的最大值．

解答： 解：（1）由f（x）=

1

(x+1)2

，得
f（x）+f（

1

x

）=

1

(x+1)2

+

1

( 1 x +1)2

=

x2+1

(x+1)2

．
令g（x）=

x2+1

(x+1)2

=

x2+1

x2+1+2x

=

1

1+ 2x x2+1

．
当x=0时，g（x）=1；
当x≠0时，g（x）=

1

1+ 2 x+ 1 x

，
若x＞0，则x+

1

x

≥2，∴g（x）∈[

1

2

，1）；
若x＜0且x≠-1，则x+

1

x

＜-2，∴g（x）∈（1，+∞）．
∴g（x）∈[

1

2

，+∞）．
由f（x）+f（

1

x

）≥m恒成立，得m≤

1

2

，
∴m的最大值为

1

2

．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是正确分类，是中档题．