Question

4．若数列{a_n}的首项a₁=2，且${S_{n+1}}=\frac{2}{3}{a_{n+1}}+\frac{1}{3}$（n∈z⁺），则数列{a_n}的通项公式是a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{-5•（-2）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由${S_{n+1}}=\frac{2}{3}{a_{n+1}}+\frac{1}{3}$（n∈z⁺），可推出S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，从而可得{a_n}是以-5为首项，-2为公比的等比数列，从而解出数列的通项公式．

解答 解：∵${S_{n+1}}=\frac{2}{3}{a_{n+1}}+\frac{1}{3}$（n∈z⁺），可推出S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，n≥2，两式作差的，a_n+1=$\frac{2}{3}$a_n+1-$\frac{2}{3}$a_n，
即a_n+1=-2a_n，
则{a_n}是以a₂为首项，-2为公比的等比数列，数列{a_n}的首项a₁=2，∴a₁+a₂=$\frac{2}{3}$a₂+$\frac{1}{3}$，
a₂=-5，
则a_n=-5•（-2）^n-2．n≥2．
数列的通项公式为：${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2，n=1\\-5{（-2）^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{-5•（-2）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的通项公式的推导，数列递推关系式的应用，考查计算能力．