Question

14．设函数f（x）=|-2x+4|-|x+6|．
（1）求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）＞a+|x-2|存在实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）问题等价于|x-2|-|x+6|＞a，根据绝对值的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）≥0即|2x-4|-|x+6|≥0，
可化为①$\left\{\begin{array}{l}{x＜-6}\\{-（{2x-4}）+（{x+6}）≥0}\end{array}$，或②$\left\{\begin{array}{l}{-6≤x≤2}\\{-（{2x-4}）-（{x+6}）≥0}\end{array}$，或③$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{（{2x-4}）-（{x+6}）≥0}\end{array}$，
解①可得x＜-6；解②可得$-6≤x≤-\frac{2}{3}$；解③可得x≥10．
综上，不等式f（x）≥0的解集为$（{-∞，-\frac{2}{3}]∪[10，+∞}）$…..（5分）
（2）f（x）＞a+|x-2|等价于2|x-2|-|x+6|＞a+|x-2|，
问题等价于|x-2|-|x+6|＞a，
而|x-2|-|x+6|≤|（x-2）-（x+6）|=8，
若f（x）＞a+|x-2|存在实数解，则a＜8，
即实数a的取值范围是（-∞，8）…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．