Question

12．已知圆${C_1}：{x^2}+{y^2}=4$与圆${C_2}：{（x-1）^2}+{（y-3）^2}=4$，过动点P（a，b）分别作圆C₁、圆C₂的切线PM，PN，（ M，N分别为切点），若|PM|=|PN|，则a²+b²-6a-4b+13的最小值是$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 P的轨迹为线段C₁C₂的中垂线：2x+6y-10=0，由a²+b²-6a-4b+13=（a-3）²+（b-2）²，得到a²+b²-6a-4b+13的最小值是点（3，2）到直线2x+6y-10=0的距离的平方，由此能求出结果．

解答 解：∵圆${C_1}：{x^2}+{y^2}=4$与圆${C_2}：{（x-1）^2}+{（y-3）^2}=4$，
∴C₁（0，0），C₂（1，3），
∵过动点P（a，b）分别作圆C₁、圆C₂的切线PM，PN，（ M，N分别为切点），|PM|=|PN|，
∴P的轨迹为线段C₁C₂的中垂线，
线段C₁C₂的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），线段C₁C₂的斜率k′=$\frac{3}{1}$=3，
∴P的轨迹方程为$y-\frac{3}{2}=-\frac{1}{3}（x-\frac{1}{2}）$，即2x+6y-10=0，
∵a²+b²-6a-4b+13=（a-3）²+（b-2）²，
∴a²+b²-6a-4b+13的最小值是点（3，2）到直线2x+6y-10=0的距离的平方，
∴a²+b²-6a-4b+13的最小值为：
d²=（$\frac{|2×3+6×2-10|}{\sqrt{4+36}}$）²=$\frac{8}{5}$．
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，涉及到直线方程、圆、圆的切线方程、线段的中垂线方程、两点间距离公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．