Question

（理科学生做）已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），（n为正整数）都在函数y=(

1

2

)x的图象上．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设an=n(n∈N*)，过点A_n（a_n+2，0），B_n（0，（n+2）b_n+1）的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c_n，试求最小的实数t，使c_n≤t对一切正整数n恒成立；
（3）对（2）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入3^k-1个3，得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列{d_n}的前n项和，试探究2014是否是数列{S_n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据题中已知条件以及等差数列的基本性质，先求出b_n的通项公式，然后证明为常数即可证明；
（2）先求出b_n的通项公式，然后求出c_n的表达式，可知数列c_n随n增大而减小，故c₁≤t，便可求出t的最小值；
（3）根据题意先求出d_n的表达式，然后求出S_n的表达式，因为2014-1120=894=298×3，是3的倍数，所以存在自然数m，使S_m=2014．

解答： 解：（1）设等差数列的公差为d，则
由已知b_n=(

1

2

)an，∵数列{a_n}是等差数列，
∴

bn+1

bn

=(

1

2

)d（常数），
∴数列{b_n}是等比数列．
（2）∵a_n=n，∴b_n=(

1

2

)n
∴c_n=(n+2)2•(

1

2

)n+2，
∴

cn+1

cn

=

(n+3)2

2(n+2)2

＜1，
∴数列{c_n}随n增大而减小，
∵c_n≤t对一切正整数n恒成立
∴c₁≤t，
∴t≥

9

8

，
∴最小的实数t为

9

8

；
（3））∵a_n=n，∴数列{d_n}中，从第一项a₁开始到a_k为止（含a_k项）的所有项的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，
当k=7时，其和是28+

37-3

2

=1120＜2014，而当k=8时，其和是36+

38-3

2

=3315＞2014，
又∵2014-1120=894=298×3，是3的倍数，
所以存在自然数m，使S_m=2014．
此时m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+298=669．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的基本性质以及函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．