Question

8．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一条渐近线与椭圆$\frac{x^2}{5}$+y²=1交于P．Q两点．F为椭圆右焦点，且PF⊥QF，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{4}{15}\sqrt{15}$
• B． $\frac{4}{5}\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}-1$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意PQ=2$\sqrt{5-1}$=4，设直线PQ的方程为y=$\frac{b}{a}$x，代入$\frac{x^2}{5}$+y²=1，可得x=±$\sqrt{\frac{5{a}^{2}}{{a}^{2}+5{b}^{2}}}$，利用弦长公式，建立方程，即可得出结论．

解答 解：由题意PQ=2$\sqrt{5-1}$=4，
设直线PQ的方程为y=$\frac{b}{a}$x，代入$\frac{x^2}{5}$+y²=1，可得x=±$\sqrt{\frac{5{a}^{2}}{{a}^{2}+5{b}^{2}}}$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{5{a}^{2}}{{a}^{2}+5{b}^{2}}}$=4，
∴5c²=4a²+20b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{15}\sqrt{15}$，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查双曲线的离心率，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．