Question

13．已知椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{2}$=1，F₁，F₂为其左．右焦点，直线l与椭圆相交于A、B两点，
（1）线段AB的中点为（1，$\frac{1}{2}$），求直线l的方程；
（2）直线l过点F₁，三角形ABF₂内切圆面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1，相减再利用斜率计算公式、中点坐标公式即可得出．
（2）F₁$（-\sqrt{2}，0）$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线l的方程为：ty=x+$\sqrt{2}$，与椭圆方程联立化为：（t²+2）y²-2$\sqrt{2}$ty-2=0，可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$×$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$，利用基本不等式的性质可得：△F₁AB的面积取得最大值$2\sqrt{2}$．设△F₁AB的内切圆的半径为r，可得${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}r×4a$=4$\sqrt{2}$r，进而得出．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1，
相减可得：$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{2}$=0，∴$\frac{2}{4}+\frac{1}{2}×\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=0，即1+k_l=0，解得k_l=-1．
∴直线l的方程为：y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），化为：2x+2y-3=0．
（2）F₁$（-\sqrt{2}，0）$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线l的方程为：ty=x+$\sqrt{2}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（t²+2）y²-2$\sqrt{2}$ty-2=0，
∴∴y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+2}$，y₁•y₂=$\frac{-2}{{t}^{2}+2}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$．
∴${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$×$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$=4$\sqrt{2}$×$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}$≤$\frac{4c}{2}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当t=0时取等号．
∴△F₁AB的面积取得最大值$2\sqrt{2}$．
设△F₁AB的内切圆的半径为r，则${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}r×4a$=4$\sqrt{2}$r≤2$\sqrt{2}$．
∴r≤$\frac{1}{2}$，
∴三角形ABF₂内切圆面积≤$π×（\frac{1}{2}）^{2}$，取得最大$\frac{π}{4}$，
∴直线l的方程为x+$\sqrt{2}$=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形的内切圆的性质与面积，考查了推理能力与计算能力，属于难题．