Question

19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，如果f（x²+ax+a）≤f（-at²-t+1）对任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立，则实数a的最大值是（　　）

• A． -1
• B． $-\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． -3

Answer 1

分析 根据奇函数在对称区间上单调性相同结合已知可得f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，进而可将f（x²+ax+a）≤f（-at²-t+1）对任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立，转化为x²+ax+a≤-at²-t+1对任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立，再分类讨论，即可得出结论．

解答 解：根据奇函数在对称区间上单调性相同且f（x）在[0，+∞）上是增函数，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∵f（x²+ax+a）≤f（-at²-t+1）对任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立，
∴x²+ax+a≤-at²-t+1对任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立，
∴x²+ax≤-at²-t+1-a对任意x∈[1，2]，任意t∈[1，2]恒成立
a≥0时，y=x²+ax，x∈[1，2]，函数单调递增，∴4+2a≤-at²-t+1-a任意t∈[1，2]恒成立
∴at²+t+3+3a≤0任意t∈[1，2]恒成立
∴a+1+3+3a≤0，∴a≤-1，不成立；
a≤-3，y=x²+ax，x∈[1，2]，∴1+a≤-at²-t+1-a任意t∈[1，2]恒成立
∴at²+t+2a≤0任意t∈[1，2]恒成立
∴a+1+2a≤0，∴a≤-$\frac{1}{3}$，∴a≤-3；
a＞-3，y=x²+ax，x∈[1，2]，4+2a≤-at²-t+1-a任意t∈[1，2]恒成立
∴at²+t+3+3a≤0任意t∈[1，2]恒成立
∴a+1+3+3a≤0，∴a≤-1，∴-3＜a≤-1；
综上所述a≤-1．
故选A．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．