Question

4．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，F₂为右焦点，若∠F₁PF₂=45°，则椭圆的离心率为（　　）

• A． 2-$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． 3-2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把x=-c代入椭圆的方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可取P$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，根据∠F₁PF₂=45°，可得$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，化简解出即可得出．

解答 解：F₁（-c，0），
把x=-c代入椭圆的方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
取P$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，∵∠F₁PF₂=45°，∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，∴a²-c²=2ac，化为：e²+2e-1=0，
又0＜e＜1，可得：e=$\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$-1．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．