Question

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]．求f（x）的最大值和最小值，并指明何时取到最值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+1，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

解x可得单调递增区间；（2）由x∈[0，

π

2

]，可得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，可得三角函数的最值．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=2sinx（sinx+cosx）
=2sin²x+2sixcosx=1-cos2x+sin2x
=

2

sin（2x-

π

4

）+1
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z） 
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，函数取最小值0，
当2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，函数取最大值

2

+1，

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值，属基础题．