题目内容
在△ABC中，已知B=
，AC=4
，D为BC边上一点．
（1）设AB=3
，且AD为∠A的内角平分线，若
=λ
+μ
，求λ、μ的值
（2）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．
| π |
| 3 |
| 3 |
（1）设AB=3
| 3 |
| AD |
| AB |
| AC |
（2）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．
考点：平面向量的综合题
专题：平面向量及应用
分析：（1）由内角平分线性质知
=
=
，
=
，由此能求出λ=
，μ=
．
（2）由题设知∠ADC=
π，
=2R，由此得到周长L=8sinC+8sin（
-C）+4
，从而能求出当C=
时，周长L取最大值为8+4
．
| BD |
| DC |
| AB |
| AC |
| 3 |
| 4 |
| BD |
| 3 |
| 7 |
| BC |
| 4 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
（2）由题设知∠ADC=
| 2 |
| 3 |
| AC |
| sin∠ADC |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
解答：
解：（1）由内角平分线性质知
=
=
，
∴
=
，
∴
=
+
=
+
(
-
)
=
+
，
∵
=λ
+μ
，
∴λ=
，μ=
．
（2）由题设知∠ADC=
π，
=2R，
∴2R=
=8，∴AD=2RsinC=8sinC，
DC=2Rsin（
-C）=8sin（
-C），
∴周长L=8sinC+8sin（
-C）+4
=8（
sinC+
cosC）+4
=8sin（C+
）+4
，
∵0＜C＜
，∴
＜C+
＜
，
∴当C=
时，周长L取最大值为8+4
．
| BD |
| DC |
| AB |
| AC |
| 3 |
| 4 |
∴
| BD |
| 3 |
| 7 |
| BC |
∴
| AD |
| AB |
| BD |
=
| AB |
| 3 |
| 7 |
| AC |
| AB |
=
| 4 |
| 7 |
| AB |
| 3 |
| 7 |
| AC |
∵
| AD |
| AB |
| AC |
∴λ=
| 4 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
（2）由题设知∠ADC=
| 2 |
| 3 |
| AC |
| sin∠ADC |
∴2R=
4
| ||||
|
DC=2Rsin（
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴周长L=8sinC+8sin（
| π |
| 3 |
| 3 |
=8（
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
=8sin（C+
| π |
| 3 |
| 3 |
∵0＜C＜
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴当C=
| π |
| 6 |
| 3 |
点评：本题考查实数值的求法，考查三角形周长的最大值的求法，解题时要认真审题，注意内角平分线性质和正弦定理的合理运用．
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