Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个左、右焦点分别是F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），且经过点A（

3

2

，

3

2

）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C上两点M，N使

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2），求△OMN面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已和条件推导出

a2-b2=2 3 4 a2 + 3 4 b2 =1

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出△OMN面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个左、右焦点
分别是F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），且经过点A（

3

2

，

3

2

），
∴

a2-b2=2 3 4 a2 + 3 4 b2 =1

，解得a²=3，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，
联立方程组

y=kx+m x2 3 +y2=1

，消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+3k2

．

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2），
∴x₁₁+x₂=

3

2

λ，y₁+y₂=

3

2

λ，
得k_MN=-

1

3

，m=

3

3

λ，于是x₁+x₂=

3m

2

，x₁x₂=

9m2-9

4

，
∴|MN|=

1+(- 1 3 )2|x1-x2|

=

10

3

(x1+x2)-4x1x2

=

10 • 4-3m2

2

．
又∵λ＞0，原点O到直线MN的距离为d=

3 10 m

10

，
∴S_△OMN=

1

2

|MN|d
=

10 • 4-3m2

4

•

3 10 m

10

=

3 • (4-3m2)•3m2

4

≤

3

2

．
当m=

6

3

，即λ=

2

时，等号成立，S_△OMN的最大值为

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．