Question

不等式sin2θ-（2

2

+

2

a）sin（θ+

π

4

）-

2 2

cos(θ- π 4 )

＞-3-2a对θ∈[0，

π

2

]恒成立．对于上面的不等式小川同学设x=sinθ+cosθ，则有sin2θ=x²-1，请照这一思路将不等式左边化为关于x的函数y=h（x）
（1）求函数y=h（x）的解析式与定义域
（2）求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先，根据x=sinθ+cosθ，得到x=

2

sin（x+

π

4

），然后，确定函数的定义域，再利用sin（x+

π

4

）=sin（x-

π

4

）代人化简，得到函数y=h（x）的解析式．
（2）分离参数a然后，借助于基本不等式进行求解范围问题．

解答： 解：（1）∵x=sinθ+cosθ，
∴x=

2

sin（θ+

π

4

），
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴θ+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴x∈[1，

2

]，
函数的定义域为[1，

2

]；
∵sin2θ=x²-1，x=

2

sin（θ+

π

4

），
sin（θ+

π

4

）=cos（θ-

π

4

）=

2

2

x，
∴函数y=h（x）=x2-1-(2

2

+

2

a)

2

2

x-

2 2

2 2 x

=x2-(a+2)x-

4

x

-1，
∴y=h（x）=x2-(a+2)x-

4

x

-1，
（2）∵h（x）=x2-(a+2)x-

4

x

-1＞-3-2a，
即x2-(a+2)x-

4

x

-1+3+2a＞0，
∴（2-x）a＞2x-x²+

4-2x

x

=x(x-2)+2×

2-x

x

，
∵x∈[1，

2

]，
∴2-x＞0，
∴a＞x+

2

x

，
令函数f（x）=x+

2

x

，
则函数f（x）在x∈[1，

2

] 上单调递减，
所以f（x）在x∈[1，

2

] 上的最大值为f（1）=3．
即知a的取值范围为（3，+∞）．

点评：本题综合考查函数的基本性质，函数恒成立问题，分离参数法在求解问题中的灵活运用，属于中档题．