Question

已知数列{x_n}满足x₁=2，x_n+1=

2xn

xn+2

，n∈N₊，求数列{x_n}的通项．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把已知递推式两边取倒数，得到数列{

1

xn

}是等差数列，并求得公差，然后由等差数列的通项公式求得数列{

1

xn

}的通项公式，再取倒数得到数列{x_n}的通项．

解答： 解：由x_n+1=

2xn

xn+2

，得

1

xn+1

=

xn+2

2xn

=

1

xn

+

1

2

，
∴

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

，n∈N₊，
又

1

x1

=

1

2

，
∴数列{

1

xn

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列．
则

1

xn

=

1

x1

+(n-1)d=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

．
故xn=

2

n

．
∴数列{x_n}的通项为xn=

2

n

．

点评：本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．