Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a＜0）
（1）若当x∈[1，e]时，函数f（x）的最大值为-3，求a的值；
（2）设g（x）=f（x）+f′（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数），若函数g（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用当x∈[1，e]时，函数f（x）的最大值为-3，建立条件关系即可求a的值；
（2）求出函数g（x）的表达式，利用函数g（x）在（0，+∞）上是单调函数，得到g′（x）≥0恒成立，即可得到结论．

解答： 解：（1）由f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

可得函数f（x）在(0，-

1

a

)上单调递增，在(-

1

a

，+∞)上单调递减，
∴当x=-

1

a

时，f（x）取最大值，
①当-

1

a

≤1，即a≤-1时，函数f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=-3，解得a=-3；
②当1＜-

1

a

≤e，即-1＜a≤-

1

e

时，f(x)max=f(-

1

a

)=-3，
解得a=-e²＜-1，与-1＜a≤-

1

e

矛盾，不合舍去；
③当-

1

a

＞e，即a＞-

1

e

时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=-3，解得a=-

4

e

＜-

1

e

，与a＞-

1

e

矛盾，不合舍去；
综上得a=-3．
（2）解法一：∵g(x)=lnx+ax+

1

x

+a，
∴g′(x)=

1

x

+a-

1

x2

=-(

1

x

-

1

2

)2+a+

1

4

，
显然，对于x∈（0，+∞），g'（x）≥0不可能恒成立，
∴函数g（x）在（0，+∞）上不是单调递增函数，
若函数g（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，则g'（x）≤0对于x∈（0，+∞）恒成立，
∴[g′(x)]max=a+

1

4

≤0，解得a≤-

1

4

，
综上得若函数g（x）在（0，+∞）上是单调函数，则a∈(-∞，-

1

4

]．
解法二：∵g(x)=lnx+ax+

1

x

+a
∴g′(x)=

1

x

+a-

1

x2

=

ax2+x-1

x2

，
令ax²+x-1=0------------（*）
方程（*）的根判别式△=1+4a，
当△≤0，即a≤-

1

4

时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≤0，
即当a≤-

1

4

时，函数g（x）在（0，+∞）上是单调递减；
当△＞0，即a＞-

1

4

时，方程（*）有两个不相等的实数根：x1=

-1+ 1+4a

2a

，x2=

-1- 1+4a

2a

，
∴g′(x)=

a

x2

(x-x1)(x-x2)，
当x₁＜x＜x₂时g'（x）＞0，当x＞x₂或0＜x＜x₁时，g'（x）＜0，
即函数g（x）在（x₁，x₂）单调递增，在（0，x₁）或（x₂，+∞）上单调递减，
∴函数g（x）在（0，+∞）上不单调，
综上得若函数g（x）在（0，+∞）上是单调函数，则a∈(-∞，-

1

4

]．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数公式求出函数的导数，是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．