Question

若斜率为k的两条平行直线l，m与曲线C相切并至少有两个切点，且曲线C上的所有点都在l，m之间（也可在直线l，m上），则把l，m称为曲线C的“夹线”，把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d（k）．已知函数f（x）=x+3cosx．
（Ⅰ）若点P横坐标为0，求f（x）图象在点P处的切线方程；
（Ⅱ）试判断y=x+3和y=x-3是否是f（x）的“夹线”，若是，求d（1）；若不是，请说明理由；
（Ⅲ）求证：函数F（x）=-

1

3

x³+x的图象不存在“夹线”．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到f′（0），再求出f（0）的值，然后由直线方程的点斜式得f（x）图象在点P处的切线方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=x+3是f（x）图象在点P处的切线，再由导函数的值等于1可求得另外至少一个切点（2π，2π+3），同理得到满足斜率为-1的曲线的切点至少有两个（π，π-3），（3π，3π-3），然后利用作差法结合三角函数的值域说明曲线f（x）夹在两直线y=x+3和y=x-3之间．由两平行线间的距离公式求得d（1）；
（Ⅲ）设出F（x）=-

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3

x³+x上的任意一点，求出曲线在该点处的切线方程，和y=-

1

3

x³+x联立后解得两交点坐标，再由曲线在求得的两点出的导数值相等得到切点唯一，不符合曲线存在夹线的条件，说明函数F（x）=-

1

3

x³+x的图象不存在“夹线”．

解答： （Ⅰ）解：由f（x）=x+3cosx，得
f′（x）=1-3sinx，
∴k=f′（0）=1-3sin0=1，
又f（0）=0+3cos0=3，
∴P点坐标为p（0，3），
∴f（x）图象在点P处的切线方程是y-3=x-0，即y=x+3；
（Ⅱ）解：y=x+3和y=x-3是f（x）的“夹线”．
由（Ⅰ）知y=x+3是f（x）图象在点P处的切线，切点为（0，3）．
∵f′（x）=1-3sinx=1，
∴sinx=0．
当x=2π时，y=2π+3，f（2π）=2π+3cos2π=2π+3，
∴（2π，2π+3）是函数y=x+3和f（x）=x+3cosx图象的另一个切点．
y=x+3和f（x）=x+3cosx的图象相切且至少有两个切点．
同理，（π，π-3），（3π，3π-3）是y=x-3和f（x）=x+3cosx图象的两个切点．
因此，两条平行直线与曲线相切并至少有两个切点．
令g（x）=x+3，h（x）=x-3．
对任意x∈R，g（x）-f（x）=（x+3）-（x+3cosx）=3-3cosx≥0，
∴g（x）≥f（x）．
h（x）-f（x）=（x-3）-（x+3cosx）=-3-3cosx≤0，
∴h（x）≤f（x）．
y=x+3和y=x-3是f（x）的“夹线”
∴d(1)=

|3-(-3)|

12+12

=3

2

；
（Ⅲ）证明：设F(x)=-

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3

x3+x的图象上任一点为P（x₀，y₀），
∴F′（x）=-x²+1，k=F′(x0)=-x02+1，
又F(x0)=-

1

3

x03+x0，
∴F（x）在点P（x₀，y₀）处的切线方程为y-(-

1

3

x03+x0)=(-x02+1)(x-x0)，
即y=(-x02+1)x+

2

3

x03．
联立

y=(-x02+1)x+ 2 3 x03 y=- 1 3 x3+x

，得-

1

3

x3+x=(-x02+1)x+

2

3

x03，
∴(x-x0)2(x+2x0)=0，解得：x=x₀或x=-2x₀．
∴k=F′(x0)=-x02+1，
k′=F′(-2x0)=-(-2x0)2+1=-4x02+1，
∴k=k′时，当且仅当x₀=0时取到，此时切线与F(x)=-

1

3

x3+x的图象只有一个交点．
∴F(x)=-

1

3

x3+x的图象和它在任一点处的切线至多只有一个切点．
∴函数F(x)=-

1

3

x3+x的图象不存在“夹线”．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于对新定义的理解，是压轴题．