Question

若关于直线y=k（x-1）对称的两点M，N均在圆C：（x+3）²+（y-4）²=16上，且直线MN与圆x²+y²=2相切，则直线MN的方程是

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：由对称性可知圆心C在直线y=k（x-1）上，求出k的值，利用直线垂直关系求出MN的斜率，利用直线和圆相切即可得到结论．

解答： 解：∵关于直线y=k（x-1）对称的两点M，N均在圆C上，
∴圆心C（-3，4）在直线y=k（x-1）上，且MN垂直直线y=k（x-1），
即4=（-3-1）k=-4k，
解得k=-1，
∴MN的斜率k=1，
设直线MN的方程为y=x+b，即x-y+b=0，
∵直线MN与圆x²+y²=2相切，
∴圆心O到直线的距离d=

|b|

2

=

2

，
即|b|=2，解得b=2或b=-2，
∵M，N均在圆C上，
∴圆心C到直线的距离d=

|-3-4+b|

2

＜4，
即|b-7|＜4

2

，
即7-4

2

＜b＜7+4

2

，
故b=-2不满足条件，
故b=2，
直线MN的方程是y=x+2，
故答案为：y=x+2

点评：本题主要考查直线方程的求解，根据条件求出k的值，以及利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．