Question

9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F（-1，0），左顶点为A，上、下顶点分别为B，C．
（1）若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；
（2）若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A，B，C的坐标，写出直线BF的方程，再由AC的中点在直线BF上求得a，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由直线BF的斜率可得b，求出a，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆方程求得D的坐标，则点D到椭圆E右准线的距离可求．

解答 解：（1）由题意，A（-a，0），B（0，b），C（0，-b），
又F（-1，0），∴c=1，直线BF：y=bx+b．
∵M为AC的中点，∴$M（-\frac{a}{2}，-\frac{b}{2}）$，
代入直线BF：y=bx+b，得a=3，
由a²=b²+c²=b²+1，得b²=8，
∴椭圆E的标准方程是$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$；
（2）∵直线BF的斜率为1，则$b=c=1，a=\sqrt{2}$，
∴椭圆$M：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
又直线BF：y=x+1，联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=x+1\end{array}\right.$，解得x=0（舍），或$x=-\frac{4}{3}$，
∵右准线的方程为x=2，
∴点D到右准线的距离为$2+\frac{4}{3}=\frac{10}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础的计算题．