Question

4．函数f（x）的定义域为R，且f（-3）=1，f'（x）＞2，则不等式f（x）＜2x+7的解集为（-∞，-3）．

Answer 1

分析 设F（x）=f（x）-（2x+7），则F′（x）=f′（x）-2，由对任意x∈R总有f′（x）＞2，知F′（x）=f′（x）-2＞0，所以F（x）=f（x）-2x-7在R上是增函数，由此能够求出结果．

解答 解：设F（x）=f（x）-（2x+7）=f（x）-2x-7，
则F′（x）=f′（x）-2，
∵f′（x）＞2，
∴F′（x）=f′（x）-2＞0，
∴F（x）=f（x）-2x-7在R上递增，
∵f（-3）=1，
∴F（-3）=f（-3）-2×（-3）-7=0，
∵f（x）＜2x+7，
∴F（x）=f（x）-2x-7＜0，
∴x＜-3，
故答案为：（-∞，-3）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．