Question

17．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=4，则BC的长度为3．

Answer 1

分析 由已知求出${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}$，然后由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$求解$|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$，则答案可求．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，
且$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）•（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}）$=$（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）$
=$（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}）$=$\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{2}{9}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}）=4$，
得$\frac{10}{9}+\frac{2}{9}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}）=4$，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}=13$．
∴$|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}-2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=13-4=9．
∴$|\overrightarrow{BC}|=3$．
故答案为：3．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．