Question

已知椭圆C1：

x2

2

+y2=1和圆C2：x2+y2=1，左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆C₁的右焦点．
（1）若点P是曲线C₂上位于第二象限的一点，且△APF的面积为

1

2

+

2

4

，求证：AP⊥OP；
（2）点M和N分别是椭圆C₁和圆C₂上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点．

Answer 1

证明：（1）设曲线C₂上的点P（x₀，y₀），且x₀＜0，y₀＞0，由题意A（-

2

，0），F（1，0）
∵△APF的面积为

1

2

+

2

4

，∴

1

2

|AF|y0=

1

2

(1+

2

)y0=

1

2

+

2

4

∴y0=

2

2

，x0=-

2

2

∴

AP

•

OP

=(

2

2

，

2

2

)•(-

2

2

，

2

2

)=0
∴AP⊥OP；
（2）设直线BM的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，又两直线都过点B（0，-1）
∴直线BM的方程为y=kx-1，直线BN的方程为y=2kx-1
将y=kx-1代入椭圆方程，消元可得（1+2k²）x²-4kx=0，∴xM=

4k

2k2+1

，∴yM=

2k2-1

2k2+1

∴M（

4k

2k2+1

，

2k2-1

2k2+1

）
同理N（

4k

4k2+1

，

4k2-1

4k2+1

）
∴直线MN的斜率为kMN=

4k2-1 4k2+1 - 2k2-1 2k2+1

4k 4k2+1 - 4k 2k2+1

=-

1

2k

∴直线MN的方程为y-

2k2-1

2k2+1

=-

1

2k

（x-

4k

2k2+1

）
整理得y=-

1

2k

x+1
∴直线MN恒过定点（0，1）