题目内容

已知直线x-y+1=0经过椭圆S:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点和一个顶点.
(1)求椭圆S的方程;
(2)如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.
①若直线PA平分线段MN,求k的值;
②对任意k>0,求证:PA⊥PB.
(1)在直线x-y+1=0中令x=0得y=1;令y=0得x=-1,
由题意得c=b=1,
∴a2=2,
则椭圆方程为
x2
2
+y2=1

(2)①M(-
2
,0)
,N(0,-1),
M、N的中点坐标为(-
2
2
-
1
2
),
所以k=
2
2

②解法一:将直线PA方程y=kx代入
x2
2
+y2=1

解得x=±
2
1+2k2

2
1+2k2
=m

则P(m,mk),A(-m,-mk),于是C(m,0),
故直线AB方程为y=
0+mk
m+m
(x-m)=
k
2
(x-m)

代入椭圆方程得(k2+2)x2-2k2mx+k2m2-8=0,
xB+xA=
2k2m
k2+2

因此B(
m(3k2+2)
k2+2
mk3
k2+2
)

AP
=(2m,2mk)
PB
=(
m(3k2+2)
k2+2
-m,
mk3
k2+2
-mk)=(
2mk2
k2+2
-2mk
k2+2
)

AP
PB
=
2mk2
k2+2
×2m+
-2mk
k2+2
×2mk=0

PA
PB
,故PA⊥PB.
解法二:由题意设P(x0,y0),A(-x0,-y0),B(x1,y1),则C(x0,0),
∵A、C、B三点共线,
y1
x1-x0
=
y0
2x0
=
y1+y0
x1+x0

又因为点P、B在椭圆上,
x02
2
+y02=1
x12
2
+y12=1

两式相减得:kPB=-
x0+x1
2(y0+y1)

kPAkPB=
y0
x0
[-
x0+x1
2(y0+y1)
]
=-
(y1+y0)(x0+x1)
(x1+x0)(y0+y1)
=-1,
∴PA⊥PB.
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