题目内容
已知直线x-y+1=0经过椭圆S:
+
=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点.
(1)求椭圆S的方程;
(2)如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.
①若直线PA平分线段MN,求k的值;
②对任意k>0,求证:PA⊥PB.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求椭圆S的方程;
(2)如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.
①若直线PA平分线段MN,求k的值;
②对任意k>0,求证:PA⊥PB.
(1)在直线x-y+1=0中令x=0得y=1;令y=0得x=-1,
由题意得c=b=1,
∴a2=2,
则椭圆方程为
+y2=1.
(2)①M(-
,0),N(0,-1),
M、N的中点坐标为(-
,-
),
所以k=
.
②解法一:将直线PA方程y=kx代入
+y2=1,
解得x=±
,
记
=m,
则P(m,mk),A(-m,-mk),于是C(m,0),
故直线AB方程为y=
(x-m)=
(x-m),
代入椭圆方程得(k2+2)x2-2k2mx+k2m2-8=0,
由xB+xA=
,
因此B(
,
),
∴
=(2m,2mk),
=(
-m,
-mk)=(
,
),
∴
•
=
×2m+
×2mk=0,
∴
⊥
,故PA⊥PB.
解法二:由题意设P(x0,y0),A(-x0,-y0),B(x1,y1),则C(x0,0),
∵A、C、B三点共线,
∴
=
=
,
又因为点P、B在椭圆上,
∴
+y02=1,
+y12=1,
两式相减得:kPB=-
,
∴kPAkPB=
[-
]=-
=-1,
∴PA⊥PB.
由题意得c=b=1,
∴a2=2,
则椭圆方程为
x2 |
2 |
(2)①M(-
2 |
M、N的中点坐标为(-
| ||
2 |
1 |
2 |
所以k=
| ||
2 |
②解法一:将直线PA方程y=kx代入
x2 |
2 |
解得x=±
2 | ||
|
记
2 | ||
|
则P(m,mk),A(-m,-mk),于是C(m,0),
故直线AB方程为y=
0+mk |
m+m |
k |
2 |
代入椭圆方程得(k2+2)x2-2k2mx+k2m2-8=0,
由xB+xA=
2k2m |
k2+2 |
因此B(
m(3k2+2) |
k2+2 |
mk3 |
k2+2 |
∴
AP |
PB |
m(3k2+2) |
k2+2 |
mk3 |
k2+2 |
2mk2 |
k2+2 |
-2mk |
k2+2 |
∴
AP |
PB |
2mk2 |
k2+2 |
-2mk |
k2+2 |
∴
PA |
PB |
解法二:由题意设P(x0,y0),A(-x0,-y0),B(x1,y1),则C(x0,0),
∵A、C、B三点共线,
∴
y1 |
x1-x0 |
y0 |
2x0 |
y1+y0 |
x1+x0 |
又因为点P、B在椭圆上,
∴
x02 |
2 |
x12 |
2 |
两式相减得:kPB=-
x0+x1 |
2(y0+y1) |
∴kPAkPB=
y0 |
x0 |
x0+x1 |
2(y0+y1) |
(y1+y0)(x0+x1) |
(x1+x0)(y0+y1) |
∴PA⊥PB.
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